[통계] 쉽게 익히는 베이즈 정리(Bayes' theorem)

   베이즈 정리(Bayes' theorem)

▶개요

 베이즈의 정리는 영국의 목사 토머스 베이즈가 정립한 조건부확률에 대한 통계적 정리이다. 사건A와 B가 있을때, 사건 B가 일어난것을 전제로, 사건A에 대한 확률을 구하고 싶을때 사용할 수 있다. 현재 알고있는 것은 조건부 확률이 아니라 사건A와 B각각의 확률에 대한 것일 뿐일때 베이즈의 정리를 사용할 수 있다. 

즉, B사건이 일어났다는 전제 하의 A사건의 확률은?

▶베이즈의 통계학(베이지언 통계학)

  베이즈의 정리를 이용해 통계학에 접근하는 것이다. 자신이 가진 가설에 다른 자료들을 반영하여 새로운 것을 만드는 것으로 볼 수 있다. 하지만 베이지언 통계학은 확률,추정에 대해 기존 통계학과 많이 달라서 비판적으로 보는 사람도 있다. 

 이는 심리학, 신경과학, 인지과학, 인공지능 등의 분야의 연구에서도 쓰이고 있다. 인간의 사고는 자신이 가진 생각과 새로운 정보를 받아들임으로서 새롭게 세상을 해석하거나 의사결정을 내리게 된다는 이론적인 흐름에서 베이즈의 정리가 적용되는 것이다.

  

  

▶역확률 Inverse Problem

  베이즈 정리는 원래 역확률을 풀기 위한 것이었다. 조건부 확률(B를 전제로 해서 A의 확률을 구하는 것)을 알고있을때, 

그 역확률로 A를 전제로 하여 B의 확률을 구하는 방법이다. 

 이는 병의 진단 예제를 통해 쉽게 알 수 있다. 

<예제>

  ⓐ어떤 사람이 질병X를 검사하였고, 이 검사는 정확도가 90%이다. 그런데 양성판정이 나왔다. 

  → 이 사람은 질병X에 걸려있을 확률이 90%인 것은 아니다!

  → 조건부 확률이 정 반대의 상황

  ⓑ즉, 이 상황에서의 조건부 확률은 P(양성결과|질병X)=0.9

  ⓒ실제로 구해야 하는 확률은 질병X를 앓고있으면서, 이 검사 결과가 양성으로 나올 확률이므로,식은 다음과 같다. P(질병X|양성)

  ⓓ여기서 역확률을 계산하려면 사건(질병X)의 확률을 알고 있어야 한다. 

  ⓔ즉 유병률이 1%라고 가정한다면, 질병X를 앓고있을 확률은 8%정도이다.